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Question #6: What are the solutions x of the equation ax·a1/x = 1, x ≠ 0 and a ≠ 1?
(a) x = -1
(b) x = 1
(c) x1 = -1 and x2 = 1
(d) The equation does not have real solutions
(e) x = a
Answer: ax·a1/x = ax + 1/x = 1 = a0
x + 1/x = 0
(x2 + 1)/x = 0
x2 + 1 = 0. This equation does not have real solutions as x2 + 1 will always be positive.
Question #7: If f(x) = |x| and g(x) = x2, how many solutions has f(x) = g(x)?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) The equations does not have real solutions.
Answer: The simplest way to solve this problem is to draw the 2 functions in the x, y plane.
We find that the 2 functions intersect in 3 locations, for x = -1, 0 and 1.
Question #8: If a, b and c are the sides of any triangle, which of the following inequalities is not true?
(a) a·b > 0
(b) a + b > c
(c) a + c/2 >b
(d) b + c > a
(e) (a + b)·(b + c) > a·c
Answer: The first answer is true, since the product of 2 positive reals will be positive.
The second and the fourth answers are also true, since the sum of 2 sides of a triangle is always higher than the third side.
The fifth answer is also true because it is just a multiplication of the second and fourth inequalities.
Answer three should be the one that is not true, and we can verify this result with an example: an isosceles triangle with a = 3, b= 3, c= 10 will not satisfy the inequality.
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